22 marzo, 2010

SOBRE LA DISTRIBUCION DE LOS NUMEROS PRIMOS. La escalera de los divisores.

Uno de los temas mas fascinantes de las matematicas y por ende del mundo real es la inconmensuralidad de algunas longitudes. Los pensadores de la antigua grecia ya estaban fascinados por este hecho; les sorprendia que hubiese longitudes que no se pudiesen dividir exactamente, por eso a estos cocientes les llamaron numeros irracionales. A los cocientes exactos, les llamaron numeros racionales.

Fue Euclides, quien trabajo seriamente por primera vez en este asunto.

En los estudios de las longitudes, sus multiplos y sus divisores, tambien aparecian unos numeros que albergaban una curiosa propiedad. Todos los numeros naturales son divisibles racionalmente por algunos otros, pero habia unos numeros naturales que solo eran divisibles racionalmente por ellos mismos y por la unidad, a estos numeros les llamaron Primos.

Que curioso ¡, numeros que casi no se pueden dividir exactamente, es decir racionalmente. Por ejemplo un palo de 11 cm de longitud, solo lo puedo divir exactamente en 11 partes iguales, pero unicamente en eso ¡¡¡. Es, sin duda, algo que llama poderosamente la atención.

Estos numeros Primos, han sido estudiados intensamente durante la historia de la humanidad, y las mentes mas agudas, los grandes genios pocas cosas han ido sacando en claro.

¿ cada cuando ocurre este fenómeno en la sucesion infinita de los numeros naturales ?. Es decir cada cuando las longitudes solo pueden ser divividas entre ellas mismas ?.

Poco se sabe, la verdad. Se sabe cuantas de estas curiosas situaciones (primos) ocurren cada cierto numero de naturales, es decir se sabe cuantos primos hay bajo un dado numero natural.
A este descubrimiento se le conoce como el Teorema de los numeros Primos.

Así pues, su distribucion global es mas o menos bien conocida, pero individualmente sigue siendo un misterio. Es decir ¿ cada cuanto aparece un numero primo ?.

Numerosas conjeturas han ido apareciendo a lo largo de los siglos; algunas funcionaban para una serie de primos pero luego fallaban, con otras se obtenian numeros primos siempre, pero no secuencialmente, en definitiva sigue siendo un misterio.

Para comprender el problema de los Primos hay que analizar el problema de los divisores de los numeros naturales y ver como estos evolucionan. Este según mi criterio, es el problema principal. Averiguar como evolucionan los divisores de los numeros naturales nos debe dar pistas de que ocurre para que los primos no los tengan.

Averiguar los divisores (siempre racionales, claro está) de los numeros naturales ha sido historicamente un problema. El metodo mas evidente, es el de prueba y error; es decir, dado un numero natural, lo dividimos entre sus consecutivos predecesores y observamos cuales dan cociente racional. Este método es practico si el numero en cuestion es pequeño, cuando el numero es muy grande las operaciones que hay que hacer son tantas que resulta poco provechoso.

Para resolver este problema se dio con un metodo que consistia en dividir el numero en cuestion solo por sus divisores primos anteriores. A este método se le conoce como Factorizar en (divisores) Primos. Esto es consecuencia, porque si divides un numero cualquiera entre uno primo anterior y sale cociente exacto, ese numero ya no se puede volver a dividir otra vez por ningun otro numero que no sea multiplo de este primo. Por lo que obtienes logicamente su operación inversa; es decir, sus divisores y por consiguiente el producto de sus factores primos sera el numero en cuestión.
Con lo cual, al factorizar en primos, obtenemos los divisores de un numero y los divisores primos tambien. Con lo cual es magnífico, "matas dos pajaros de un solo tiro".
No obstante este método tambien tiene sus problemas, por un lado ante un numero muy grande las divisiones sucesivas que tienes que hacer, aunque menos que con el método anterior si el numero es muy grande, tambien son muchisimas, y el otro problema es que seguimos sin saber como evolucionan los divisores de los numeros naturales.

Existe otra forma de obtener los divisores de los numeros naturales ?. La respuesta es no. No existe hasta ahora ningun metodo secuencial o analitico, no existe ninguna tabla o matriz que nos permita visualizar como evolucionan los divisores de los numeros naturales.

Sin embargo, un analisis cuidadoso del método de la division y del metodo de la factorización, sugiere que si disponemos los numeros naturales en una matriz escalonada podremos obtener secuencialmente los divisores de los numeros naturales incluidos, claro está los de los numeros primos.

La disposición es la siguiente:


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 4 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 3 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 5 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0


Si nos fijamos, mediante esta matriz podemos construir una escalera de los numeros naturales ya que estos aparecen secuencialmente en la diagonal. A la derecha de la diagonal todos son ceros, por eso la llamo la Escalera. Tiene logica que a la derecha de la escalera sean todos ceros, al fin y al cabo, no puede haber ningun divisor mayor que el propio numero natural; si los tiene tienen que estar por debajo de la diagonal o por debejo de la escalera, como la queramos llamar.

Si nos fijamos, la construccion de la escalera es secuencial, debajo de un numero natural hay tantos ceros como el numero natural indique menos uno. Esto es así porque saltamos una unidad entre cada escalón, por lo que por debajo de por ejemplo el 3, hay dos ceros, es decir dos escalones.

Si nos fijamos nos aparecen todos los divisores de los numeros naturales automaticamente, y evidentemente cuando llegamos a un numero Primo, los divisores son siempre cero; es decir, no existen ¡. Es decir los divisores de los numeros naturales se van moviendo, pero cuando llegan a un primo todos los ceros se alinean y voila ¡ nos damos cuenta que es primo.

Si extendemos la escalera hasta el infinito podemos averiguar donde hay un primo, simplemente sumando los divisores de los numeros naturales. Cuando salga como resultado el mismo numero natural mas uno, es Primo. Como el divisor uno es comun a todos los numeros naturales es comun, podemos incluso simplificar eliminando la columna del 1, por lo que la suma si es primo sera entonces el mismo numero en cuestión. Un numero es primo si y solo si la suma de sus divisores es N+1. Son los únicos números que son ligeramente abundantes, si no consideramos solo los divisores propios, claro está.

Mediante esta escalera, podemos obtener sin hacer ninguna operación matematica, los divisores de los numeros naturales, y podemos ver los primos.

En la Matriz, hay sucesivas diagonales formada por los numeros naturales, estas diagonales son siempre la mitad de la anterior, ya que un numero por lo que primero podria ser divisible es siempre por su mitad, despues por su tercia y así sucesivamente....

Si nos fijamos en los primos, el analisis de los ceros que aconpañan al 1 inicial, es siempre N-2 a partir del primer primo claro esta, el 2 solo es divisible por el 1, es un caso especial.

Sinembargo ¿ podriamos sacar una conclusión entre el numero de ceros que acompañan a un primo y el numero de ceros que acompañan al siguiente primo, para así poder escalar entre ellos y vislumbrar una sucesión ?.

La respuesta es que aun no he conseguido sacar una conclusión clara; por un lado parece que aumentan en dos ceros mas entre dos consecutivos, pero despues salta a cuatro ceros mas entre los otros dos. Esto parece indicar que la regla se resiste, pero ahora si parece mas clara.

La sucesión de primos es: 2, 3, 5, 7, 11, ...

Por ejemplo: Primo nº2.....10 (3), Primo nº3....1000 (5), Primo nº6....100000 (7), Primo nº7...1000000000 (11), ....

Parece que el numero de ceros, tampoco guarda una correlación....

Seguiremos investigando.

Un abrazo y a pensar....

3 comentarios:

Isaac David Reyes González dijo...

Buen artículo. Es interesante la historia de las matemáticas y la lucha del hombre por resolver sus misterios.

Anónimo dijo...

yo he encontrado reglas que determinan mas facil si un número es primo o no, pero no se si ya otras las han analizado, ya que sin ellas, mi programa saca cientos miles de primos en minutos, tanto que halle un programa que me superaba, en tiempo ahora lo reescribi no tiene casi nada de los anteriores que menciono y se tarda 16 segundos en php en analizar de 1 a 200 millones y en C++ de 1 a 500 millones, necesito saber si el tiempo es bueno o malo. Ya que mis reglas que pueden otros conocerlas, no las veo en ningún programa y ya he vistos cientos de paginas. IvanMrsnik@gmail.com

Victor Arteaga dijo...

Holas...

Es buen tiempo, mi metodo PRI-BASE busca numeros primos en rangos de 50.000.000, donde tarda entre 8 a 10 segundos en analizar y extraer los primos de este rango. No he probado buscar directamente en un rango de 200 millones, como lo desarrolle en Visual Basic, al ampliar la dimension del vector, se ponia lenta, por eso me quede con el rango de 50 millones.
Me dijeron que en Delphi el proceso puede ser mas rapido... tu que opinas.

viluarte22@hotmail.com